（圖片取自網路開放資源。）
前言
在理財投資裡成功方法有千百種，不管您使用的方法是哪一種？但從數學上觀察，一定都符合本文所探討的三種趨勢，可以用「鞅」的這個概念來說明。基本上投資理財不一定需要用到多少數學，但簡易的計算（如簡單加減乘除）卻是必須的，當您沒有投資的任何基礎時，透過數學來理解「投資成功」所需要的要件，可以少走很多冤枉路，也可以建立自己獨立思考的能力。比如說我們面對一件事實，從事件的陳述上常常帶有很多情感的要件，讓自己失去客觀的判斷能力。但若從數學的角度上陳述，就會相對清楚許多，讓自己變得更客觀，也不容易受到外部情勢及個人情緒的干擾。在投資的世界裡，兩個投資技巧差異不大的 A、B 兩個人，可能因為心理素質的不同，而讓投資績效差距拉大。投資是一門商業理論結合機率學、心理學的賽局，因此本文我們就從數學上來探討這個賽局要如何推導吧！
衡量投資的優劣：「鞅」
在開始討論投資方法之前，我們來談一種衡量投資決策績效的概念：「鞅」（Martingale）。「鞅」原本是 18 世紀流行於法國的一種投注策略，當時流行的投資策略邏輯非常簡單，稱為加倍賭注法（也就是現在俗稱的攤平法）。以投擲硬幣的賭局（1 賠 1）來說，若硬幣正面朝上則贏得賭金，反面朝上則失去賭金，而加倍投注的概念，就是當賭徒的財產可以接近無窮時，且賭局也可以無限的持續下去，則贏得賭注的機率會趨近於 1。加倍賭注法看似是一種必然贏錢的策略，但是現實情況是隨著每一次的加倍賭注，賭金的金額呈現指數式的放大，使用這個策略最終都會導致賭徒破產。
後來「鞅」的概念，在 1934 年及 1939 年先後由保羅·皮埃爾·萊維（應用於離散定理）、以及約翰・維爾（應用於連續定理）將相關理論利用數學進行證明，主要的動機是為了表明成功的投注策略並不存在。而後，從 1970 年後，「鞅」就被純粹數學應用在更多領域中進行廣泛的討論，如解決物理上的數學問題（如布朗運動）、金融世界的計量模型（如隨機漫步理論）或博奕理論等等。目前「鞅」的最簡單表示方法，有如下的三種：
`E[X_(t_k)|X_(t_0),X_(t_1),...,X_(t_i)]=X_(t_i)`，`{X_(t_i)}_{i=0}^oo`稱為 Martingale。
`E[X_(t_k)|X_(t_0),X_(t_1),...,X_(t_i)]<=X_(t_i)`，`{X_(t_i)}_{i=0}^oo`稱為 Supermartingale。
`E[X_(t_k)|X_(t_0),X_(t_1),...,X_(t_i)]>=X_(t_i)`，`{X_(t_i)}_{i=0}^oo`稱為 Submartingale。
其中，Martingale（鞅）具備公平的賭局，沒有任何趨勢，就好像投擲硬幣一般，不管是押正反兩面哪一邊，都沒有特別的優勢存在。而 Supermartingale（上鞅）不具備公平的賭局，有下跌的趨勢，就好比玩吃角子老虎機一樣，隨著玩的次數愈多，玩家剩餘的資金將愈少。而 Submartingale（下鞅）則具有贏過莊家優勢的賭局，有上漲的趨勢，不過這樣的賭局通常出現在市場沒有效率、稀缺或金融市場恐慌的時候。因此，投資股票要能長期達到正報酬，就是要確保我們的投資決策具有 Submartingale（下鞅）的趨勢，也就是隨著參與的次數越來越多，隨著時間的推移，讓本金具有長期上漲的趨勢。然而，不同的投資者，不同的投資策略，都會產生不同的 Martingale（鞅）。
（投資本金於三種「鞅」的趨勢線，自行繪製。）
報酬率結合「鞅」的概念
假設`W_(tn)`是資產 W 從時間 0→t 的累積報酬率，`Delta t`代表單位時間，則`Delta W_t=W_(t+Delta t)-W_t`，因此累積報酬率`W_(tn)`可以表示為多個時間軸的報酬率總和，如下：
`W_(t_n)=W_0+sum_(k=0)^(n-1)Delta W_(t_k)`
由於每個報酬率`Delta W_(t_k)`符合常態分布`Delta W_(t_k)～N(0,Delta t)`，且相互獨立，因此累積報酬率的分布是`Delta W_(t_k)～N(0,t_n=n Delta t)`，繪圖如下。
（報酬率的常態分布，自行繪製。）
投資報酬率結合「鞅」之後，關鍵處就在平均值 `mu` 所在的位置，到底是出現在 0 軸的左邊、抑或是 0 軸的右邊，當：
（1）`mu=0`，投資活動不影響本金的增加或減損。
（2）`mu<0`，投資活動影響本金呈現下跌趨勢。
（3）`mu>0`，投資活動影響本金呈現上漲趨勢。
（`mu`的左移及右移影響報酬率的常態分布位置，自行繪製。）
在機率的概念裡，過去發生的事稱為平均值（`mu`）；而未來還未發生，但預期可能發生的結果便叫做期望值。因此，平均值是我們依據過去的經驗所產生的結果均值；而期望值便是我們維持過去相同行為模式下，預期可能達到的未來結果的期望。
期望值 vs 條件期望值
過去筆者的文章曾舉例，如果有一個投擲硬幣的實驗 且硬幣正面（贏錢）的機率較高、反面（賠錢）的機率較低，則這枚硬幣就稱為具有正期望值的賭局，在「鞅」的概念裡，稱為 Submartingale（下鞅）。可惜的是，一個具有正期望值的賭局通常是不存在、或非常少數而稀有，由於遊戲的創造來自莊家，莊家不會創造出對自己不利，或讓自己虧損的規則。而玩家所參與及接觸的，通常由別人創造，因此幾乎絕大部分都是負期望值的賭局。
因此，投資人最關心的事，便是如何將投資達到正期望值。以 21 點為例，由於遊戲規則對莊家有利，對玩家則是負期望值。但是在一個賭局裡，撲克牌可以重現的點數為有限個（使用固定數量的牌組），因此在玩家參與的賭局下，勝率並非一個純粹固定機率的概念，而是一個排列組合下產生的變動機率。因此，算牌的玩家，可以透過牌局裡已出現的點數、及未出現的點數，來計算剩餘排列組合下，少數出現對玩家有利的機會，這些透過計算，可以達到正期望值的機會，長期平均報酬便稱為條件期望值。
在股市裡，也具備某種條件下可以達到的正期望值賭局。最普遍的例子就是，存股達人們買進好公司且長期持有下，好公司透過公司良善的經營，並長期正向發展及回饋股東，自然產生「正期望值」的股價變化或股息收入。而這個產生正期望值，是具有條件篩選，透過條件而達到「正期望值」的結果，我們就稱之為是個具有「正條件期望值」的賭局。因此，我們可以看到一個現象，若說一個投資者眼光好，可以買到上漲的股票，其實並不是他真的眼光好，而是他設定了參與「正期望值」的進場條件，以下便舉幾個例子來說明：
1、「存股」帶的條件是買進「好公司」。
2、「價值型投資」帶的條件則是買進「低價」。
3、「成長型投資」帶的條件則是買進「成長」。
4、「題材型投資」帶的條件則是買進「上漲題材」。
5、「技術型投資」帶的條件則是買進過去價格（量與價）變化產生正向次數較多的「型態」。
6、「籌碼型投資」帶的條件則是買進「大戶正在買的股票」。
7、「ETF型投資」帶的條件則是買進「權值最大 50 家公司」（0050）或「高殖利率 50 家公司」（0056）。
以數學來定義條件期望值，當 `{W_(t_i)}_(i=0)^oo` 和 `{W_t>=0}` 兩條件成立，且都是隨機過程時。以隨機變數 X 與 Y，定義為「股價」及「資訊量」的關係，則條件期望值可以表示如下：
`E[X|Y=y]=int x f_(X|Y)(x|y)dx=int x frac{f_(X,Y)(x,y)}{f_Y(y)}=g(y)`
多條件期望值下的「鞅」
當上節的條件機率具有隨機變數 X，及多個資訊流`{Y_(t_1),Y_(t_2),...,Y_(t_i)}`時，可得到多條件式期望值`E[X|Y_(t_1),Y_(t_2),...,Y_(t_i)]`。由於隨機變數 X 可表示為 `{X_(t_k)}_(k=0)^oo`，且對應於 `{Y_(t_i)}_(k=0)^oo` 的隨機變數有`{X_(t_i)}_(k=0)^oo`，其中 `0<=t_i<=t_k` ，因此可表示成一個 Markov 形式的條件期望值，且存在一函數 h 如下：
`E[h(X_(t_k)|Y_(t_0),Y_(t_1),...,Y_(t_i)]=E[h(X_(t_k))|Y_(t_i)]`
因此在多條件機率下，「鞅」具有如下的三種形式：
`E[X_(t_k)|Y_(t_0),Y_(t_1),...,Y_(t_i)]=X_(t_i)`，`{X_(t_i)}_(i=0)^oo`是一個 Martingale。
`E[X_(t_k)|Y_(t_0),Y_(t_1),...,Y_(t_i)]<=X_(t_i)`，`{X_(t_i)}_(i=0)^oo`是一個 Supermartingale。
`E[X_(t_k)|Y_(t_0),Y_(t_1),...,Y_(t_i)]>=X_(t_i)`，`{X_(t_i)}_(i=0)^oo`是一個 Submartingale。。
（使用多條件機率下的股價常態分佈，自行繪製。）
現實情況下的偏態現象
再來談一種偏態現象，代表機率分佈的峰值中位數與平均值不對等，即左右邊的形態不對稱。本文前述所討論的「長期報酬率」呈現一種常態分佈，是指在長期取得不同樣本數的情況下產生。但是，短期報酬的實際面貌，卻容易受到外在情勢的影響，造成偏態分佈的情況。因此，筆者提出三種外在情勢的改變，所造成的偏態如下圖。
1、負偏態分佈（negatively skewed distribution）：外部情勢看多、投資人獲利偏好。
2、正偏態分佈（right skewed distribution）：外部情勢看空、投資人風險偏好。
2、正態分佈（normal distribution）：外部情勢中性、個股表現為主。
（在不同外部情勢下造成的偏態現象，自行繪製。）
在偏態下，短期績效好壞來自市場波動
從上一節的偏態現象，我們可以看出，短期績效（報酬率）的好壞主要來自外部情勢的干擾，來自大多數投資人信心程度的高低。信心高則股市呈現負偏態分佈（高估企業獲利），反之信心低則呈現正偏態分佈（低估企業獲利）。由於短期績效，來自市場情勢的隨機變動影響最大（如政治情勢、環境與政策、消息面等），因此只有看短時間的績效無法評斷投資人功力的好壞，但是長期則回歸均值的表現。也就是說，可以將金融的世界視為一種隨機混沌的機制，但是卻可以從中透過一些規則（即條件期望值大於市場期望值），來達到優於市場平均報酬，即打敗市場的一些方法。但可惜的是，若評估的時間太短，市場非常容易受到外部情勢的干擾，再好的方法都打不過市場的快速變動，而影響整體統計的結果。因此，由於市場的扭曲，容易造成投資者因短期的成功案例而高估自已投資能力，後續因相同策略方法而抬出市場的投資人大有人在。因此我們需要非常的了解，股市是個非常容易受到干擾的市場，且偏態的現象是個長期存在的干擾，影響我們對於結果的判斷，改變我們的心理預期。
由於偏態現象時常直接決定我們短期投資結果，因此大多投資者很容易被說服：在外部情勢不好時減碼、情勢好時加碼。但是，對於筆者而言，外部情勢的變動，產生變動的因素太過複雜，並不容易預測，就好比猜投擲硬幣或丟骰子的結果一般。比方說，假如您看到一枚硬幣已連續丟出了 5 個正面，你會如何去猜測下一次出現正面或反面呢？也許你會認為這枚硬幣不是公正的硬幣而猜下一次同樣是正面，也有另一群人會猜已經出現 5 次正面，下一次總該出現反面了吧？若以技術分析來看，看對的準確率也同樣來自機率問題。因此，在筆者的觀念裡，假如您已經找到一個模式可以讓條件期望值高於市場期望值，也就是您已經習慣從 21 點上透過算牌來獲利，就不太必要再去猜測外部丟硬幣或丟骰子的結果。因為在小樣本的情況下，很難去判斷猜對了幾次市場的走勢，到底來自運氣還是來自實力。也就是，直接把不確定性視為一種雜訊與干擾，而去掌握自已可以掌握的部份，才是筆者長期秉持的理念。
忽略偏態效應，長期回歸均值
偏態在數學裡也有個特色，也就是當樣品數夠多時，最終趨勢會朝向常態分佈發展。如 M 型化社會就是個很明顯的偏態現象，資產階級及無資產階級，長期朝向兩個不同方向發展，就形成一個 "M 型分佈"，但 M 型化社會的偏態分佈是否會回歸常態分佈呢？歷史上的例子，最終的下場都來自於戰爭跟改朝換代，當經濟比較差（正偏態分佈）的一方已經活不下去時，經濟比較好（負偏態分佈）的一方麻煩就大了。因為國家一旦走向毀滅與革命，經濟好的家庭常常成為戰場底下的獵物，而快速回歸常態分佈。而在投資裡，股災的發生是個正偏態分佈，但如巴菲特的危機入市理論，在正偏態的時點進入，往往最終是享受「回歸常態分佈」的贏家。相反的，在股市熱絡時進場（負偏態的時點進入），若個股的股價皆已被高估，則最終勢必要成為「回歸常態分佈」的輸家。
小結
在本文裡，筆者探討到兩個概念，一個是「鞅」，另一個是「偏態」。而本文為了嚴謹的定義這兩個「數學概念」，因此有一點點數學成份，但讀者可以略過，直接感受一下兩個結論。在「鞅」的概念裡，報酬率能否打敗大盤可以透過「條件式」選股來達成，使投資成為一個「有利賭局」，不管您的方式是「存股」、「價值型投資」、「成長型投資」、「題材型投資」、「技術型投資」、「籌碼型投資」抑或「買進 ETF」等，都可以透過條件式的進場，來達到「條件期望值」大於「市場期望值」的結果（即勝過市場）。但「偏態」的現象，卻是我們較難以掌握的部份，卻重大影響短期投資績效。因此，你可以像筆者一樣忽略「偏態」的影響，也可以透過賽局理論來猜測後市的可能結果，去賭機率較大的部份，但是由於去猜測後市的結果，於統計樣本數上遠遠不如個股來得多，在「小數法則」下很容易產生「生存者偏誤」的謬誤，這點對於想要猜測後市的投資人，風險也要有所認知。由於筆者是個理科人，對於投資理念有比較多來自於「數據科學」等要求，但筆者也並非固執的投資人，會因觀察到的現象而做調整，但也因重視「大數法則」，因此也不太在意單一「個案」的探討，但卻重視「市場」的趨勢。因此，本文主要在談筆者的一點心得與觀念，套用在個股與市況上，絕對不一定正確（因為一個機率的問題，最終的結果仍是個機率），至於受不受用就請讀者自行斟酌吧。
※本文為個人研究，非投資建議，相關數據依據當時公布之財報資料推估，僅供讀者參考。
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